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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 183

multivariada y su funci´on de densidad es
4 5 4 5
N 1 N k
···
x 1 x k
f(x 1 ,... ,x k )= 4 5 ,
N
n

en donde cada variable x i toma valores en el conjunto {0, 1,... ,n} pe-
ro sujeto a la condici´on x i ≤ N i ,y en donde adem´as debe cumplirse que
x 1 +···+x k = n.Se dice entonces que el vector (X 1 ,... ,X k )tiene distribu-
ci´on hipergeom´etrica multivariada (N, N 1 ,... ,N k ,n). Observe que cuando
´unicamente hay dos tipos de objetos, es decir k =2, la distribuci´on hiper-
geom´etrica multivariada se reduce a la distribuci´on hipergeom´etrica univa-
riada. En la secci´on de ejercicios aparecen expresiones para la esperanza y
varianza de esta distribuci´on.

3.12. Distribuciones multivariadas continuas

Ahora estudiamos algunas distribuciones continuas de vectores aleatorios.

Distribuci´ on uniforme bivariada. Se dice que las variables aleatorias
continuas X y Y tienen una distribuci´on conjunta uniforme en el rect´angulo
(a, b) × (c, d), si su funci´on de densidad es
⎧
1
⎪
⎨ si x ∈ (a, b),y ∈ (c, d),
f(x, y)= (b − a)(d − c)
⎪
0 otro caso.
⎩
Se escribe (X, Y ) ∼ unif(a, b) × (c, d). Se puede observar inmediatamente
que las distribuciones marginales son nuevamente uniformes, adem´as X y
Y siempre son independientes. Es f´acil tambi´en comprobar que E(X, Y )=
((a + b)/2, (c + d)/2), y que

2
4 5
(b − a) /12 0
Var(X, Y )= .
2
0 (d − c) /12