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180 3.10. Esperanza y varianza de un vector aleatorio

La varianza de un vector X puede expresarse como sigue
t
? @
E (X − E(X)) (X − E(X)) ,
t
en donde X significa transpuesta del vector rengl´on X.Observe que (X −
t
E(X)) es un vector columna de dimensi´on n×1, mientras que (X−E(X)) es
un vector rengl´on de dimensi´on 1×n.De modo que el producto de estos dos
vectores, en el orden indicado, resulta en una matriz cuadrada de dimensi´on
n × n cuya entrada (i, j)es E[(X i − E(X i ))(X j − E(X j ))] = Cov(X i ,X j ).
Esta matriz tambi´en se llama matriz de varianzas y covarianzas,y tiene las
siguientes propiedades.

Proposici´ on.La matriz Var(X)es sim´etrica y positiva definida. Esto
n
´ ultimo significa que para cualquier vector θ =(θ 1 ,... , θ n )de R se cum-
ple la desigualdad ⟨Var(X)θ, θ⟩≥ 0, en donde ⟨·, ·⟩ denota el producto
n
interior usual de R .

Demostraci´on. La simetr´ıa se sigue de la igualdad Cov(X i ,X j )= Cov(X j ,X i ).
La propiedad de ser positiva definida se obtiene usando la bilinealidad de la
covarianza,
n
"
⟨Var(X)θ, θ⟩ = Cov(X i ,X j )θ i θ j
i,j=1
n
"
= Cov(θ i X i , θ j X j )
i,j=1
n n
" "
=Cov( θ i X i , θ j X j )
i=1 j=1
n
"
=Var( θ i X i ) ≥ 0.
i=1