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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 179

Propiedades del coeficiente de correlaci´ on

ρ(X, Y ) ∈ [−1, 1].

|ρ(X, Y )| =1 si, y s´olo si, Y = aX + b,con probabilidad uno.
Si X ⊥ Y, entonces ρ(X, Y )= 0.

En general, ρ(X, Y )= 0 ̸=⇒ X ⊥ Y .
Si (X, Y )tiene dist. normal y ρ(X, Y )= 0, entonces X ⊥ Y .

3.10. Esperanza y varianza de un vector aleatorio

Los conceptos de esperanza y varianza para una variable aleatoria pueden
extenderse al caso de vectores aleatorios de cualquier dimensi´on de la si-
guiente forma.

Definici´ on. (Esperanza y varianza de un vector). Sea X el vec-
tor aleatorio (X 1 ,... ,X n ). Cuando cada coordenada del vector tiene
esperanza finita se define la esperanza de X como el vector num´erico

E(X)= (E(X 1 ),... ,E(X n )).
Si cada coordenada del vector aleatorio tiene segundo momento finito,
entonces la varianza de X se define como la matriz cuadrada

⎛ ⎞
Var(X 1 ) Cov(X 1 ,X 2 ) ··· Cov(X 1 ,X n )
⎜ Cov(X 2 ,X 1 ) Var(X 2 ) ··· Cov(X 2 ,X n ) ⎟
⎜ ⎟ .
. . .
Var(X)= ⎜ . . . ⎟
⎝ . . . ⎠
Cov(X n ,X 1 )Cov(X n ,X 2 ) ··· Var(X n )
n×n