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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 177

Ejercicio. Sean X y Y independientes e id´enticamente distribuidas. De-
muestre que ρ(X + Y, X − Y )= 0. !

Definici´ on. (Correlaci´ on positiva, negativa o nula). Cuan-
do ρ(X, Y )= 0 se dice que X y Y son no correlacionadas. Cuando
|ρ(X, Y )| =1 se dice que X y Y est´an perfectamente correlacionadas
positiva o negativamente, de acuerdo al signo de ρ(X, Y ).

Nuevamente observe que, en general, la condici´on ρ(X, Y )= 0 no es sufi-
ciente para poder afirmar que X y Y son independientes, excepto en el caso
normal. Esto es consecuencia del mismo resultado para la covarianza.

Ejercicio. Sea X una variable aleatoria discreta con distribuci´on uniforme
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en el conjunto {−2, −1, 1, 2},y defina Y = X .Demuestre que el coefi-
ciente de correlaci´on entre X y Y es cero, y sin embargo X y Y no son
independientes. !

Adicionalmente en los ejercicios 380 y 381 de la p´agina 208 semuestran si-
tuaciones concretas de este mismo resultado tanto en el caso discreto como
en el continuo. Sin embargo, cuando la distribuci´on de (X, Y )es normal y
ρ(X, Y )= 0, entonces efectivamente se cumple que X y Y son independien-
tes. Demostraremos esto a continuaci´on.

Proposici´ on.Si (X, Y )es un vector con distribuci´on normal bivariada
tal que ρ(X, Y )= 0, entonces X y Y son independientes.

Demostraci´on. Como veremos m´as adelante, la funci´on de densidad normal