Page 190 - cip2007

178 3.9. Coeficiente de correlaci´ on

bivariada est´a dada por la siguiente expresi´on:

1
f(x, y)= :
2πσ 1 σ 2 1 − ρ 2
4 ; <5
1 x − µ 1 2 x − µ 1 y − µ 2 y − µ 2 2
exp − ( ) − 2ρ( )( )+ ( ) ,
2
2(1 − ρ ) σ 1 σ 1 σ 2 σ 2
2
2
en donde µ 1 = E(X), σ =Var(X), µ 2 = E(Y ), σ =Var(Y ), y ρ ∈ (−1, 1).
2
1
Se pueden calcular directamente las funciones de densidad marginales y
comprobar que
1
2
2
f(x)= : exp[−(x − µ 1 ) /2σ ]
1
2πσ 1 2
1
2
2
y f(y)= : exp[−(y − µ 2 ) /2σ ],
2
2πσ 2 2
2
2
es decir, X tiene distribuci´on N(µ 1 , σ ), y Y tiene distribuci´on N(µ 2 , σ ).
2
1
Despu´es de hacer algunos c´alculos sencillos se puede demostrar que el coefi-
ciente de correlaci´on entre X y Y es ρ,y comprobar finalmente que cuando
este n´umero es cero, se verifica la igualdad f X,Y (x, y)= f X (x)f Y (y), para
cualesquiera valores reales de x y y.
En resumen tenemos la siguiente tabla.