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182 3.11. Distribuciones multivariadas discretas

Los par´ametros de esta distribuci´on son entonces el n´umero de ensayos n,
ylas k − 1probabilidades p 1 ,... ,p k−1 .Elfactor que aparece en par´entesis
en la funci´on de densidad conjunta se conoce como coeficiente multinomial
yse define como sigue

4 5
n n!
= .
x 1 ··· x k x 1 ! ··· x k !
En particular, se dice que el vector (X 1 ,X 2 )tiene distribuci´on trinomial con
par´ametros (n, p 1 ,p 2 )si su funci´on de densidad es

n!
x 1 x 2
f(x 1 ,x 2 )= p p (1 − p 1 − p 2 ) n−x 1−x 2
x 1 ! x 2 !(n − x 1 − x 2 )! 1 2
para x 1 ,x 2 =0, 1,... ,n,tales que x 1 + x 2 ≤ n.

En el caso general no es dif´ıcil comprobar que la distribuci´on marginal de la
variable X i es bin(n, p i ), para i =1,... ,k − 1. Puede adem´as demostrarse
que

E(X)= (np 1 ,... ,np k−1 ),

&
np i (1 − p i ) si i = j,
y [Var(X)] ij =
−np i p j si i ̸= j.
Observe que cuando ´unicamente hay dos posibles resultados en cada ensa-
yo, es decir k =2, la distribuci´on multinomial se reduce a la distribuci´on
binomial.

Distribuci´ on hipergeom´ etrica multivariada. Suponga que se tienen
N objetos de los cuales N 1 son de un primer tipo, N 2 son de un segundo tipo
yas´ı sucesivamente con N k objetos de tipo k.Entonces N 1 + ··· + N k = N.
Suponga que de la totalidad de objetos se obtiene una muestra sin reem-
plazo de tama˜no n,y defina la variables X 1 ,... ,X k ,como aquellas que
representan el n´umero de objetos seleccionados de cada tipo. Se dice enton-
ces que el vector X =(X 1 ,... ,X k )tiene una distribuci´on hipergeom´etrica