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184 3.12. Distribuciones multivariadas continuas

De manera evidente esta distribuci´on puede extenderse al caso de n dimen-
siones conserv´andose las mismas propiedades mencionadas.

Distribuci´ on normal bivariada. Se dice que las variables aleatorias con-
tinuas X y Y tienen una distribuci´on normal bivariada si su funci´on de
densidad conjunta es

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f(x, y)= :
2πσ 1 σ 2 1 − ρ 2
4 ; <5
1 x − µ 1 2 x − µ 1 y − µ 2 y − µ 2 2
exp − ( ) − 2ρ( )( )+ ( ) ,
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2(1 − ρ ) σ 2 σ 1 σ 2 σ 2
para cualesquiera valores reales de x y y,y en donde −1 < ρ < 1, σ 1 > 0,
σ 2 > 0, y µ 1 , µ 2 son dos constantes reales sin restricci´on. Se escribe entonces
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(X, Y ) ∼ N(µ 1 , σ ,µ 2 , σ , ρ). Cuando µ 1 = µ 2 =0, y σ 1 = σ 2 =1, la
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distribuci´on se llama normal bivariada est´andar,y su gr´afica se muestra en
la Figura 3.11 cuando ρ =0. En el siguiente ejercicio se enuncian algunas
propiedades de esta distribuci´on.

f(x, y)

x y

Figura 3.11: Funci´on de densidad normal bivariada est´andar.

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Ejercicio. Sea (X, Y )un vector con distribuci´on N(µ 1 , σ ,µ 2 , σ , ρ). De-
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muestre que