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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 187

a) F(x)G(x)es una funci´on de distribuci´on univariada.
b) F(x)G(y)es una funci´on de distribuci´on bivariada.
n
c) F (x)es una funci´on de distribuci´on univariada.
n
m
d) F (x)G (y)es una funci´on de distribuci´on bivariada.
275. Sean X y Y dos variables aleatorias, y sean x y y cualesquiera n´umeros
reales. Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso.

a) P(X> x, Y > y)= 1 − P(X ≤ x, Y ≤ y).
b) P(X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P(X ≤ x).
c) P(X ≤ x)= P(X ≤ x, Y ≤ x)+ P(X ≤ x, Y > x).
d) P(X + Y ≤ x) ≤ P(X ≤ x).

e) P(XY < 0) ≤ P(X< 0).

276. Sean X y Y variables aleatorias con funci´on de distribuci´on conjunta
F(x, y). Demuestre que para cualesquiera n´umeros reales a< b y
c< d,

P(a< X ≤ b, c < Y ≤ d)= F(b, d)+ F(a, c) − F(a, d) − F(b, c).

277. Sean X 1 , X 2 y X 3 variables aleatorias con funci´on de distribuci´on con-
junta F(x 1 ,x 2 ,x 3 ). Demuestre que para cualesquiera n´umeros reales
a 1 <b 1 , a 2 <b 2 y a 3 <b 3 ,

P(a 1 <X 1 ≤ b 1 ,a 2 <X 2 ≤ b 2 ,a 3 <X 3 ≤ b 3 )
= F(b 1 ,b 2 ,b 3 ) − F(a 1 ,b 2 ,b 3 ) − F(b 1 ,a 2 ,b 3 ) − F(b 1 ,b 2 ,a 3 )
+F(a 1 ,a 2 ,b 3 )+ F(a 1 ,b 2 ,a 3 )+ F(b 1 ,a 2 ,a 3 )
−F(a 1 ,a 2 ,a 3 ).

278. Demuestre que para cualquier vector aleatorio (X, Y )y para cualquier
valor real de u, F X,Y (u, u)= F X∨Y (u), es decir, la funci´on de distribu-
ci´on del m´aximo de dos variables aleatorias es la distribuci´on conjunta
evaluada en la diagonal. Extienda este resultado al caso n-dimensional.