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188 3.13. Ejercicios

279. Sea (X, Y )un vector con funci´on de distribuci´on F(x, y), y con dis-
tribuciones marginales F(x)y F(y), respectivamente. Demuestre que
para todo x y y en R,

:
F(x)+ F(y) − 1 ≤ F(x, y) ≤ F(x)F(y).

280. Cotas de Fr´ echet. Sea (X, Y )un vector con funci´on de distribuci´on
F(x, y), y con distribuciones marginales F(x)y F(y), respectivamente.
Demuestre que para todo x y y en R,

m´ax{F(x)+ F(y) − 1, 0} ≤ F(x, y) ≤ m´ın{F(x),F(y)}.

281. Considere el espacio Ω =(0, 1)×(0, 1) junto con la σ-´algebra B((0, 1)×
(0, 1)) y P la medida de probabilidad uniforme sobre Ω.Sea (X, Y )el
vector aleatorio definido sobre este espacio de probabilidaddado por
X(ω 1 , ω 2 )= ω 1 ∧ ω 2 y Y (ω 1 , ω 2 )= ω 1 ∨ ω 2 .Demuestre que (X, Y )es
efectivamente un vector aleatorio y encuentre su funci´on dedistribu-
ci´on.

Densidad conjunta

282. Demuestre que la funci´on de densidad de un vector (X, Y )absoluta-
mente continuo puede ser encontrada, a partir de la funci´on de distri-
buci´on, de las siguientes formas alternativas:

∂ 2
a) f(x, y)= P(X> x, Y > y).
∂x∂y
∂ 2
b) f(x, y)= − P(X ≤ x, Y > y).
∂x∂y
∂ 2
c) f(x, y)= − P(X> x, Y ≤ y).
∂x∂y
283. Grafique y demuestre que las siguientes funciones son de densidad.
1
a) f(x, y)= , para 0 <x <a,0 <y <b.
ab