Page 197 - cip2007

Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 185

2
a) X tiene distribuci´on marginal N(µ 1 , σ ).
1
2
b) Y tiene distribuci´on marginal N(µ 2 , σ ).
2
c) ρ(X, Y )= ρ.
d) X y Y son independientes si, y s´olo si, ρ =0.

e) E(X, Y )= (µ 1 ,µ 2 ).

4 2 5
σ ρσ 1 σ 2
f) Var(X, Y )= 1 2 .
ρσ 1 σ 2 σ 2

!
Es interesante observar que existen distribuciones bivariadas con densida-
des marginales normales, pero cuya distribuci´on conjunta no lo es. En el
ejercicio 398 en la p´agina 211 se presenta un ejemplo al respecto.

Distribuci´ on normal multivariada. Se dice que el vector (X 1 ,... ,X n )
tiene una distribuci´on normal multivariada si su funci´on de densidad es

1 1
t
f(x)= √ exp [− (x − µ)Σ −1 (x − µ) ],
(2π) n/2 det Σ 2
en donde x =(x 1 ,... ,x n )y µ =(µ 1 ,... ,µ n )son dos vectores de n´umeros
t
reales, Σ es una matriz de dimensi´on n×n positiva definida, es decir, xΣx ≥
n
0 para cualquier vector x =(x 1 ,... ,x n )de R ,y Σ −1 es la matriz inversa
t
de Σ.Como es usual, x denota el vector transpuesto del vector rengl´on
x.Cuando n =1 o n =2, con Σ adecuada, se obtienen las distribuciones
normal univariada y bivariada mencionadas antes.