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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 181

Se puede tambi´en definir la matriz de coeficientes de correlaci´on del vector
X como sigue
⎛ ⎞
ρ(X 1 ,X 1 ) ··· ρ(X 1 ,X n )
. .
⎜ . . ⎟
ρ(X)= ⎝ . . ⎠
ρ(X n ,X 1 ) ··· ρ(X n ,X n )
n×n
Aesta matriz tambi´en se le llama matriz de correlaci´on. Cumple la propie-
dad de ser sim´etrica y tener todos los elementos de la diagonal iguales a
uno.

3.11. Distribuciones multivariadas discretas

En esta secci´on se estudian algunas distribuciones discretas de vectores alea-
torios. Estas distribuciones son ejemplos particulares de medidas de proba-
n
bilidad sobre R ,para alg´un valor natural de n.
Distribuci´ on multinomial. Suponga que se tiene un experimento aleato-
rio con k posibles resultados distintos. Las probabilidades para cada uno de
estos resultados son respectivamente p 1 ,... ,p k ,en donde p 1 + ··· + p k =1.
Ahora suponga que se tienen n ensayos sucesivos independientes del ex-
perimento anterior, y defina las variables aleatorias discretas X 1 ,... ,X k ,
como aquellas que registran el n´umero de veces que se obtienen cada uno
de los k posibles resultados en los n ensayos. Observe que la ´ultima variable
X k est´a determinada por las anteriores pues X k = n − X 1 − ··· − X k−1 .
Entonces se dice que el vector X =(X 1 ,... ,X k−1 )tiene una distribuci´on
multinomial(n, p 1 ,... ,p k−1 ), y su funci´on de densidad es

⎧ 4 5
n
⎪ x 1 x k
⎪ p ··· p si x 1 ,... ,x k =0, 1,... ,n
⎨ 1 k
x 1 ··· x k
f(x 1 ,... ,x k−1 )= con x 1 + ··· + x k = n,
⎪
⎪
0 otro caso.
⎩