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176 3.9. Coeficiente de correlaci´ on

entonces

2
2
Var(U − V )= E(U − V ) − E (U − V )
= E(U − V ) 2
=2(1 − E(UV ))
=0.

Esto significa que con probabilidad uno, la variable U −V es constante.
Esto es, para alguna constante c,con probabilidad uno, U − V = c.
Pero esta constante c debe ser cero pues E(U − V )= 0. Por lo tanto,

X − µ X Y − µ Y
= ,
σ X σ Y
de donde se obtiene Y = µ Y +(X − µ X )σ Y /σ X .Esto establece una
relaci´on lineal directa entre X y Y .En cambio, si ρ(U, V )= −1,
entonces

2
2
Var(U + V )= E(U + V ) − E (U + V )
= E(U + V ) 2
=2(1 + E(UV ))
=0.

Esto significa nuevamente que con probabilidad uno, la variable U +V
es constante. Esto es, para alguna constante c,con probabilidad uno,
U + V = c.Nuevamente la constante c es cero pues E(U + V )= 0.
Por lo tanto,
X − µ X Y − µ Y
= − ,
σ Y σ Y
de donde se obtiene Y = µ Y − (X − µ X )σ Y /σ X .Esto establece una
relaci´on lineal, ahora inversa, entre X y Y .Uniendo los ´ultimos dos
resultados se obtiene que, cuando |ρ(X, Y )| =1, con probabilidad uno,

σ Y σ Y
Y =[ ρ(X, Y ) ] X +[ µ Y − ρ(X, Y ) µ X ].
σ X σ X