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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 171

En general, el rec´ıproco de la afirmaci´on anterior es falso,es decir,la con-
dici´on E(XY )= E(X)E(Y )no es suficiente para poder concluir que X y
Y son independientes. Por ejemplo, considere el vector aleatorio discreto
(X, Y )con funci´on de probabilidad

x\y −1 0 1
−1 1/5 0 1/5
0 0 1/5 0
1 1/5 0 1/5

Es sencillo verificar que E(XY )= E(X)E(Y )= 0, sin embargo X y
Y no son independientes pues P(X =0,Y =0) =1/5, mientras que
P(X =0)P(Y =0) =1/25. Otros ejemplos de esta misma situaci´on pueden
encontrarse en el ejercicio 352 en la p´agina 203.

3.8. Covarianza

En esta secci´on se define y estudia la covarianza entre dos variables aleato-
rias. Una interpretaci´on de este n´umero, ligeramente modificado, ser´a dada
en la siguiente secci´on.

Definici´ on. (Covarianza). La covarianza de X y Y ,denotada por
Cov(X, Y ), es el n´umero

Cov(X, Y )= E [(X − E(X))(Y − E(Y ))] .

Para que la definici´on anterior tenga sentido es necesario suponer que las
esperanzas E(X), E(Y )y E(XY )son finitas. En general cuando se escribe
Cov(X, Y ), se suponen tales condiciones. Se revisan a continuaci´on algunas
propiedades de la covarianza.