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168 3.7. Esperanza de una funci´ on de un vector aleatorio

3.7. Esperanza de una funci´on de un vector
aleatorio

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Si (X, Y )es un vector aleatorio y ϕ : R → R es una funci´on Borel medible,
entonces ϕ(X, Y )es una variable aleatoria y el problema nuevamente es
encontrar su esperanza. Usando directamente la definici´on,la esperanza de
ϕ(X, Y )se calcula del siguiente modo:

'
∞
E[ϕ(X, Y )] = xdF ϕ(X,Y ) (x),
−∞
pero, as´ı como en el caso unidimensional, ello requiere encontrar primero
la distribuci´on de ϕ(X, Y ), lo cual puede ser dif´ıcil en muchos casos. El
siguiente resultado establece una forma alternativa de calcular la esperanza
de ϕ(X, Y ), sin conocer su distribuci´on, pero conociendo, por supuesto, la
distribuci´on del vector (X, Y ).

Teorema (Esperanza de una funci´ on de un vector aleato-
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rio). Sea (X, Y )un vector aleatorio, y sea ϕ : R → R una funci´on
Borel medible tal que la variable aleatoria ϕ(X, Y )tiene esperanza fini-
ta. Entonces

'
E[ϕ(X, Y )] = ϕ(x, y) dF X,Y (x, y). (3.5)
R 2

Nuevamente omitiremos la demostraci´on de este resultado. Observe que se
trata de una integral de Riemann-Stieltjes en dos dimensiones. El “incre-
mento” de F en el rect´angulo (x i−1 ,x i ] × (y j−1 ,y j ]es

F(x i ,y j ) − F(x i ,y j−1 ) − F(x i−1 ,y j )+ F(x i−1 ,y j−1 ).

V´ease nuevamente la Figura 3.3 para comprobar esta expresi´on. En el caso