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164 3.6. Independencia

para cualesquiera x y y en R.Defina la colecci´on

A = {A ∈ B(R): P(X ∈ A, Y ≤ y)= P(X ∈ A) P(Y ≤ y), ∀ y ∈ R }.
No es dif´ıcil demostrar que A es una σ-´algebra y usando la hip´otesis resulta
que A = B(R). Sea ahora A un elemento cualquiera fijo de B(R). Defina
la colecci´on

B = {B ∈ B(R): P(X ∈ A, Y ∈ B)= P(X ∈ A) P(Y ∈ B) }.

Se puede comprobar nuevamente que B es una σ-´algebra, y de hecho B =
B(R). De esta forma, para cualquier A y B en B(R), se cumple la condi-
ci´on (3.1).

El concepto de independencia de variables aleatorias es una extensi´on de
la misma propiedad para eventos. Cuando la funci´on de densidad conjunta
existe, la condici´on de independencia de X y Y es equivalente a solicitar
que para cualesquiera n´umeros reales x y y,se cumpla la identidad

f X,Y (x, y)= f X (x) f Y (y). (3.3)
En el caso discreto, la afirmaci´on anterior es completamentecorrecta. Para
el caso continuo hay una observaci´on t´ecnica que es necesario mencionar.
Como en este caso las funciones de densidad pueden ser modificadas sin
que cambie la funci´on de distribuci´on asociada, la igualdad (3.3) puede
2
no cumplirse para cada (x, y) ∈ R ,entonces se permite que la igualdad
no se cumpla en un conjunto de medida de Lebesgue cero, por ejemplo, un
2
conjunto numerable de parejas (x, y)en R ,y entonces habr´a independencia
en el caso continuo si se cumple (3.3), salvo conjuntos de medida de Lebesgue
cero.

Ejemplo.Sea (X, Y )un vector aleatorio con funci´on de densidad f(x, y)=
4xy, para 0 ≤ x, y ≤ 1, y cuya gr´afica aparece en la Figura 3.10.

La funci´on de densidad marginal de X se calcula de la siguiente forma. Para
0 ≤ x ≤ 1,
' ' 1
∞
f X (x)= f(x, y)dy = 4xydy =2x.
−∞ 0