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162 3.5. Distribuci´ on condicional

intervalo (0, 1) se tiene que

⎧
x
' ⎨ 0 si x ≤ 0,
2
F X|Y (x|y)= f X|Y (u|y) du = x /y 2 si 0 <x <y,
−∞ ⎩ 1 si x ≥ y.
!
Puede tambi´en definirse la esperanza condicional de la siguiente forma.

Definici´ on.Sea (X, Y )un vector con funci´on de distribuci´on
F X,Y (x, y), y sea y un valor tal que f Y (y) ̸=0. Si X tiene esperanza
finita, entonces se define

'
∞
E(X | Y = y)= xdF X|Y (x|y).
−∞

En el siguiente cap´ıtulo veremos una definici´on mucho m´as general de este
concepto.
Ejercicio. Calcule la funci´on de distribuci´on condicional F X|Y (x|y)a partir
2
2
de la funci´on de densidad conjunta f X,Y (x, y)= 3(x + y )/16, para 0 <
x< y < 2. Calcule adem´as E(X | Y = y)para cualquier valor de y en el
intervalo (0, 2). !
Ejercicio. Calcule E(X | Y = y)para y = π/4, cuando (X, Y )es un vector
absolutamente continuo con funci´on de densidad f(x, y)= (1/2) sen(x + y),
para x, y ∈ (0, π/2). !

Ejercicio. Sea (X, Y )un vector aleatorio tal que X tiene esperanza finita
y Y es discreta con valores 0, 1,... tal que P(Y = n) > 0para n =0, 1,...
Demuestre que

∞
"
E(X)= E(X | Y = n) P(Y = n).
n=0