Page 171 - cip2007

Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 159

!
Observe que la distribuci´on conjunta determina de manera ´unica a las distri-
buciones marginales. Sin embargo, si lo que se conoce son las distribuciones
marginales, entonces puede haber varias distribuciones conjuntas que pro-
duzcan las marginales dadas. La forma de producir la distribuci´on conjunta
se llama acoplamiento,y la distribuci´on conjunta obtenida se llama a ve-
ces distribuci´on de acoplamiento o c´opula.Dos variables aleatorias X y Y
siempre pueden acoplarse de la forma F X,Y (x, y)= F X (x)F Y (y), que es el
caso donde se han hecho independientes una de la otra, pero puede haber
otras formas de hacerlo. En el siguiente ejemplo se muestra una situaci´on
concreta en el caso discreto.

Ejemplo.Sean X y Y discretas ambas con distribuci´on uniforme en el
conjunto {0, 1},es decir, su distribuci´on de probabilidad es

&
1/2si x =0, 1,
f(x)=
0 otro caso.
Sean a ≥ 0y b ≥ 0 tales que a + b =1/2. Entonces la siguiente densidad
conjunta tiene como densidades marginales las especificadaspara X ypara
Y .

x\y 0 1
0 a b
1 b a

Observe que esta densidad conjunta es en realidad toda una familia de
densidades conjuntas que producen las densidades marginales especificadas.
En este caso X y Y son independientes si, y s´olo si, a = b =1/4.

!