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158 3.4. Distribuci´ on marginal

Definici´ on. (Funci´ on de densidad marginal). Sea (X, Y )un vector
absolutamente continuo con funci´on de densidad f(x, y). A la funci´on

'
∞
f(x)= f(x, y) dy
−∞
se le conoce como la funci´on de densidad marginal de X.An´alogamente
se define la funci´on de densidad marginal de Y como
'
∞
f(y)= f(x, y) dx.
−∞
Si (X, Y )es un vector discreto la integral se reemplaza por una suma.

Tampoco es dif´ıcil comprobar que las funciones de densidad marginales son
efectivamente funciones de densidad univariadas. Las dos definiciones an-
teriores pueden extenderse de manera evidente cuando se tenga un vector
aleatorio de cualquier dimensi´on finita. Tambi´en es posible calcular las fun-
ciones de densidad y de distribuci´on de (X, Y )a partir, por ejemplo, de las
funciones correspondientes del vector (X, Y, Z).

Ejercicio. Calcule las funciones de densidad marginales del vector aleatorio
discreto (X, Y )cuya funci´on de probabilidad esta dada por la siguiente
tabla.
x\y 1 2 3
−1 1/45 2/45 3/45
0 4/45 5/45 6/45
1 7/45 8/45 9/45

!
Ejercicio. Calcule las funciones de densidad marginales del vector aleatorio
continuo (X, Y )cuya funci´on de densidad es

2 2 2
3(x + y )/16 si 0 <x <y < 2,
f(x, y)=
0 otro caso.