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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 153
f(x, y)
y
c d
b d
' '
P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d)= f(x, y) dy dx
a a c
b
x
Figura 3.7: La probabilidad como el volumen bajo una superficie.
2
Ejemplo.La funci´on f : R → [0, ∞)dada por la siguiente expresi´on es
una funci´on de densidad pues es no negativa e integra uno.
2
1/4 si x, y ∈ [0, 2],
f(x, y)=
0 otro caso.
Esta funci´on de densidad conjunta corresponde a la distribuci´on uniforme
del vector (X, Y )en el cuadrado [0, 2] × [0, 2]. La gr´afica se muestra en la
Figura 3.8.
Para calcular la correspondiente funci´on de distribuci´on F(x, y)se debe
calcular la doble integral para los distintos valores de x y y.Esta doble
integral toma distintas expresiones en cada una de las cinco regiones que
aparecen en la parte izquierda de la Figura 3.9. Despu´es de algunos c´alculos
elementales se encuentra que la funci´on de distribuci´on conjunta tiene la
