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148 3.2. Distribuci´ on conjunta

z

b 3

a 3

a 2
b 2
a 1 y
b 1
x

Figura 3.4: Regi´on (a 1 ,b 1 ] × (a 2 ,b 2] × (a 3 ,b 3 ].

Definici´ on. (Funci´ on de distribuci´ on conjunta). Una funci´on
F : R n → [0, 1] es una funci´on de distribuci´on si cumple las prime-
ras cuatro propiedades anteriores y, adicionalmente, para cualesquiera
n´umeros reales a 1 <b 1 , a 2 <b 2 , ..., a n <b n ,
" #a
(−1) F(x 1 ,... ,x n ) ≥ 0,
x i ∈{a i ,b i }

en donde #a es el n´umero de veces que alguna de las variables x i toma
el valor a i en la evaluaci´on de la funci´on F.

Nuevamente la suma que aparece en esta definici´on corresponde a la pro-
babilidad del evento (a 1 <X 1 ≤ b 1 ,... ,a n <X n ≤ b n ), y la condici´on
requiere simplemente que este n´umero sea no negativo.

Finalmente enunciamos un resultado que establece la importancia de la fun-
ci´on de distribuci´on, y cuya demostraci´on puede ser encontrada por ejemplo
en [19]. La prueba no es sencilla pero es an´aloga al caso unidimensional.