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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 145

de cualquier dimensi´on finita se le llama distribuci´on multivariada.Natu-
ralmente, en el caso unidimensional, la distribuci´on se llama univariada.
Cuando sea necesario especificarlo se escribe F X,Y (x, y)en lugar de F(x, y),
yes evidente la forma de extender la definici´on para el caso devectores
aleatorios de m´as de dos coordenadas. Con el fin de mantener lanotaci´on
simple, en la medida de lo posible se mantiene la correspondencia de las
letras, es decir, x es un valor asociado a X,y y es un valor asociado a Y .

Las funciones de distribuci´on conjunta satisfacen propiedades semejantes al
caso unidimensional, se estudian a continuaci´on algunas deellas.

Proposici´ on.Toda funci´on de distribuci´on conjunta F(x, y)satisface
las siguientes propiedades.

1. l´ım F(x, y)= 1, ambas variables.
x,y→∞
2. l´ım F(x, y)= 0, alguna de las variables.
x,y→−∞
3. F(x, y)es no decreciente en cada variable.

4. F(x, y)es continua por la derecha en cada variable.

5. Si a 1 <b 1 y a 2 <b 2 ,entonces
F(b 1 ,b 2 ) − F(a 1 ,b 2 ) − F(b 1 ,a 2 )+ F(a 1 ,a 2 ) ≥ 0.

La demostraci´on de las propiedades (1) a (4) es completamente an´aloga al
caso unidimensional y por tanto la omitiremos. Respecto a la propiedad
(5) observe que la expresi´on F(b 1 ,b 2 ) − F(a 1 ,b 2 ) − F(b 1 ,a 2 )+ F(a 1 ,a 2 )
corresponde a la probabilidad del evento (a 1 <X ≤ b 1 ,a 2 <Y ≤ b 2 ). De
modo que (5) se traduce simplemente en solicitar que la probabilidad de
que el vector (X, Y )tome valores en el rect´angulo (a 1 ,b 1 ] × (a 2 ,b 2 ], sea no
negativa. Este rect´angulo se muestra en la Figura 3.3.