Page 154 - cip2007

142 3.1. Vectores aleatorios

coordenada de este vector sea una variable aleatoria. En consecuencia, es
correcto definir un vector aleatorio simplemente como un vector de variables
aleatorias. V´ease la Figura 3.1. Puede demostrarse adem´asque si se parte de
n espacios de probabilidad en donde est´an definidas n variables aleatorias
respectivamente, entonces existe un espacio de probabilidad, el espacio de
probabilidad producto, en donde el vector aleatorio est´a definido.

(X 1 ,... ,X n )

ω (X 1 (ω),... ,X n (ω))

Ω R n

n
Figura 3.1: Un vector aleatorio es una funci´on de Ω en R .

n
Proposici´ on.Una funci´on (X 1 ,... ,X n ): Ω → R es un vector aleato-
rio si, y s´olo si, cada coordenada es una variable aleatoria.

Demostraci´on. Sea (X 1 ,... ,X n )un vector aleatorio. La imagen inversa de
n
cualquier conjunto de Borel de R es entonces un elemento de la σ-´alge-
bra del espacio de probabilidad. En particular, la imagen inversa del con-
junto B × R × ··· × R pertenece a F,para cualquier Boreliano B de R.
Pero esta imagen inversa es simplemente X −1 B.Esto demuestra que X 1
1
es variable aleatoria. De manera an´aloga se procede con las otras coor-
denadas del vector. Suponga ahora que cada coordenada de una funci´on
n
(X 1 ,... ,X n ): Ω → R es una variable aleatoria. Considere la colecci´on
n
B = {B ∈ B(R ): (X 1 ,... ,X n ) −1 B ∈ F}.Como cada coordenada es una
n
variable aleatoria, los conjuntos de Borel de R de la forma B 1 × ··· × B n ,
en donde cada factor de este producto es un Boreliano de R,es un elemento