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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 137

Distribuci´on beta

249. Compruebe que la funci´on de densidad de la distribuci´on beta(a, b)
efectivamente lo es. Verifique adem´as que esta distribuci´on se reduce
aladistribuci´on unif(0, 1) cuando a = b =1.

250. Sea X con distribuci´on beta(a, b). Demuestre que
a
a) E(X)= .
a + b
B(a + n, b)
n
b) E(X )= .
B(a, b)
ab
c)Var(X)= .
(a + b +1)(a + b) 2
251. Sea X con distribuci´on beta(a, b). Demuestre que
E(X)(1 − E(X))
a) a = E(X)[ − 1].
Var(X)
E(X)(1 − E(X))
b) b =(1 − E(X)) [ − 1].
Var(X)
E(X)(1 − E(X))
c) a + b = − 1.
Var(X)
252. Recuerde que la funci´on beta se define para cada a, b > 0de laforma

1
'
B(a, b)= x a−1 (1 − x) b−1 dx.
0
Demuestre que esta funci´on cumple las siguientes propiedades.

a) B(a, b)= B(b, a).
b) B(a, b)= Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b).
c) B(a, 1) = 1/a.
d) B(1,b)= 1/b.
a
e) B(a +1,b)= B(a, b +1).
b