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136 2.8. Ejercicios

Distribuci´on gama

244. Compruebe que la funci´on de densidad de la distribuci´on gama(n, λ)
efectivamente lo es. Verifique adem´as que esta distribuci´on se reduce
a la distribuci´on exp(λ)cuando n =1.

245. Sea a> 0. Demuestre que si X se distribuye gama(n, λ), entonces aX
se distribuye gama(n, λ/a).

246. Sea X con distribuci´on gama(n, λ). Demuestre que la funci´on de dis-
tribuci´on de X es
⎧
n−1 k
" (λx)
⎪
⎨ e −λx si x> 0,
1 −
F(x)= k!
k=0
⎪
0 si x ≤ 0.
⎩
247. Sea X con distribuci´on gama(n, λ). Demuestre que
a) E(X)= n/λ.
Γ(m + n)
m
b) E(X )= , para m =0, 1,...
m
λ Γ(n)
2
c)Var(X)= n/λ .
248. Recuerde que la funci´on gama se define para cada valor de n tal que
la siguiente integral es convergente
'
∞
Γ(n)= t n−1 −t dt.
e
0
Demuestre que esta funci´on cumple las siguientes propiedades.
a) Γ(n +1) = nΓ(n).
b) Γ(n +1) = n!para n entero.
c) Γ(2) = Γ(1) = 1.
√
d) Γ(1/2) = π.
1 · 3 · 5 ··· (2n − 1) √
e) Γ(n +1/2) = π para n entero.
2 n