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132 2.8. Ejercicios

Distribuci´on Poisson

219. Compruebe que la funci´on de probabilidad de la distribuci´on Poisson(λ)
efectivamente lo es.

220. Sea X con distribuci´on Poisson(λ). Demuestre que

a) E(X)= λ.
2
b) E(X )= λ(λ +1).
c)Var(X)= λ.
2
3
d) E(X )= λE(X +1) .
221. Sea X con distribuci´on Poisson(λ). Demuestre que

λ
a) P(X = x +1) = P(X = x).
x +1
2
b) P(X = x − 1) P(X = x +1) ≤ P (X = x).

222. Sea X con distribuci´on Poisson(λ). Demuestre que
1
a) P(X ∈ {1, 3, 5,...})= (1 − e −2λ ).
2
1
b) P(X ∈ {0, 2, 4,...})= (1 + e −2λ ).
2

223. Teorema de Poisson (Convergencia de la dist. binomial a la
dist. Poisson). Para cada entero positivo n,sea X n con distribuci´on
bin(n, λ/n)con λ > 0. Demuestre que para cada k =0, 1,...

λ k
l´ım P(X n = k)= e −λ .
n→∞ k!
Aeste resultado tambi´en se le conoce con el nombre de ley de eventos
raros.