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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 133

Distribuci´on binomial negativa

224. Compruebe que la funci´on de probabilidad de la distribuci´on bin neg(r, p)
efectivamente lo es.

225. Sea X con distribuci´on bin neg(r, p). Demuestre que

a) E(X)= r(1 − p)/p.
2
b)Var(X)= r(1 − p)/p .
226. Convergencia de la dist. binomial negativa a la dist. Pois-
son. Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables tal que cada una de
ellas tiene distribuci´on bin neg(n, p)con p = n/(λ + n)para alg´un
λ > 0. Demuestre que para cada k =0, 1,...

λ k
l´ım P(X n = k)= e −λ .
n→∞ k!

Distribuci´on hipergeom´etrica

227. Compruebe que la funci´on de probabilidad de la distribuci´on hiper-
geom´etrica efectivamente lo es.

228. Convergencia de la dist. hipergeom´ etrica a la dist. bino-
mial. Sea X con distribuci´on hipergeo(N, K, n). Demuestre que cuan-
do N y K tienden a infinito de tal forma que K/N → p,entonces

4 5
n x n−x
l´ım P(X = x)= p (1 − p) .
N,K→∞ x

Distribuci´on uniforme continua

229. Compruebe que la funci´on de densidad de la distribuci´on unif(a, b)
efectivamente lo es. Calcule adem´as la correspondiente funci´on de dis-
tribuci´on. Grafique ambas funciones.