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128 2.8. Ejercicios

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d) ≤ E(1/X), suponiendo X> 0.
E(X)
195. Demuestre que si X es una variable aleatoria acotada casi seguramen-
te, es decir, existe k> 0 tal que P(|X| ≤ k)= 1, entonces todos los
momentos de X existen.

196. Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad dada por
2
n/x n+1 si x> 1,
f(x)=
0 otro caso.
Demuestre que esta funci´on es de densidad para cualquier valor natural
del par´ametro n.Demuestre adem´as que tal variable aleatoria tiene
momentos finitos de orden 1, 2,... ,n − 1, pero el n-´esimo momento y
superiores no existen.

197. Desigualdad c r . Demuestre que para cada r> 0,

r
r
r
E |X + Y | ≤ c r ( E|X| + E|Y | ),
en donde c r es una constante dada por
&
1 si 0 <r ≤ 1,
c r =
2 r−1 si r> 1.
En particular, este resultado establece que si X y Y tienen r-´esimo
momento absoluto finito, entonces X+Y tambi´en. Sugerencia: A partir
r
r
de la identidad (1+t) = c r (1+t ), v´alida para cada t ≥ 0, demuestre
r
r
r
que para cualesquiera n´umeros reales x y y, |x + y| ≤ c r ( |x| + |y| ).
198. Desigualdad de H¨ older. Sean r y s dos n´umeros reales tales que
r> 1y 1/r +1/s =1. Demuestre que
s 1/s
r 1/r
E |XY | ≤ (E |X| ) (E |Y | ) .
s
r
Sugerencia: Use la desigualdad |xy| ≤ |x| /r + |y| /s,v´alida para
cualesquiera n´umeros reales x y y,y para r y s con las condiciones
mencionadas. El caso r = s =2 corresponde a la desigualdad de
Cauchy-Schwarz.