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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 123

Varianza

169. Calcule la varianza de X cuya funci´on de probabilidad o de densidad
es

a) f(x)= 1/5, para x = −2, −1, 0, 1, 2.
b) f(x)= e −1 /x!, para x =0, 1, 2,...
c) f(x)= |x|, para −1 <x < 1.
d) f(x)= e −|x| /2, para x ∈ R.

170. Sean X y Y con varianza finita y sea c una constante. Demuestre las
siguientes propiedades de la varianza.

a)Var(X) ≥ 0.
2
b)Var(cX)= c Var(X).
c)Var(X + c)= Var(X).
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2
d)Var(X)= E(X ) − E (X).
171. Use la desigualdad de Chebyshev para demostrar que Var(X)= 0 si,
ys´olo si, X es constante.

172. Sea X con valores en [a, b]. Demuestre que

a) a ≤ E(X) ≤ b.
2
b)0 ≤ Var(X) ≤ (b − a) /4.
173. Minimizaci´ on del error cuadr´ atico medio. Sea X con segundo
2
momento finito. A la funci´on g(u)= E[(X − u) ]se le conoce como
error cuadr´atico medio. Demuestre que g(u)se minimiza cuando u =
E(X). En consecuencia, para cualquier valor real de u,
2
Var(X) ≤ E[(X − u) ].

174. Sea X con varianza finita y sea c una constante. Demuestre que
2
2
E(X − c) =Var(X)+ (E(X) − c) .