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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 125

F(x)
1
3/4

1/4
x
−3 −2 −1 1 2 3 4

Figura 2.28: Una funci´on de distribuci´on mixta.

182. Sean X y Y con segundo momento finito. Demuestre que

: : : : :
| Var(X) − Var(Y )| ≤ Var(X ± Y ) ≤ Var(X)+ Var(Y ).

Momentos

183. Calcule el n-´esimo momento de una variable aleatoria cuya funci´on de
probabilidad o de densidad es

a) f(x)= 1/5, para x = −2, −1, 0, 1, 2.
b) f(x)= e −1 /x!, para x =0, 1, 2,...
c) f(x)= |x|, para −1 <x < 1.
d) f(x)= e −|x| /2, para x ∈ R.

184. Sea X con n-´esimo momento finito. Demuestre que para cualquier
m n
n´umero natural m ≤ n,se cumple E|X| ≤ E|X| .Este resultado
establece que si el n-´esimo momento de una variable aleatoria es fi-
nito, entonces todos los momentos anteriores a n tambi´en son finitos.
m m m
Sugerencia: |X| = |X| · 1 (|X|≤1) + |X| · 1 (|X|>1) .
185. Sea X con distribuci´on sim´etrica alrededor de x =0, y con cuarto
momento finito. Demuestre que para cualquier n´umero real a,
4
4
E(X ) ≤ E(X − a) .