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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 129

199. Desigualdad de Minkowski. Demuestre que para cada r ≥ 1,

r
r
r
E 1/r |X + Y | ≤ E 1/r |X| + E 1/r |Y | .
r r−1 r−1
Sugerencia: E |X + Y | ≤ E (|X|· |X + Y | )+ E (|Y |·|X + Y | ),
ahora use la desigualdad de H¨older.

Cuantiles

200. Calcule los cuartiles de la distribuci´on normal est´andar.

201. Calcule los cuartiles de la distribuci´on exponencial de par´ametro λ.

202. Minimizaci´ on del error absoluto medio. Ala funci´on g(u)=
E |X − u| se le conoce como error absoluto medio. Demuestre que si
m una mediana de X,entonces para cualquier n´umero real u,

E |X − m| ≤ E |X − u|.

Demuestre adem´as que la igualdad se cumple si, y s´olo si, u es cualquier
otra mediana de X.
203. Sea X una variable aleatoria con segundo momento finito y sea m una
:
de sus medianas. Demuestre que |m − E(X)| ≤ 2Var(X).

Distribuci´on uniforme discreta

204. Sea X con distribuci´on unif{1,... ,n}.Demuestre que

a) E(X)= (n +1)/2.
2
b) E(X )= (n +1)(2n +1)/6.
2
c)Var(X)= (n − 1)/12.
205. Se escogen al azar y de manera independiente dos n´umeros a y b
dentro del conjunto {1,... ,n}.Demuestre que la probabilidad de que
el cociente a/b sea menor o igual a uno es (n +1)/2n.