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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 131

1
n
b) P(X ∈ {0, 2, 4,...})= (1 + (1 − 2p) ).
2
213. Se lanza una moneda equilibrada 6 veces. Calcule la probabilidad de
que cada cara se obtenga exactamente 3 veces.

Distribuci´on geom´etrica

214. Compruebe que la funci´on de probabilidad de la distribuci´on geo(p)
efectivamente lo es. Demuestre que la correspondiente funci´on de dis-
tribuci´on es
& ⌊x⌋+1
1 − (1 − p) si x ≥ 0,
F(x)=
0 si x< 0.
La expresi´on ⌊x⌋ denota la parte entera de x.

215. Sea X con distribuci´on geo(p). Demuestre que
a) E(X)= (1 − p)/p.
2
b)Var(X)= (1 − p)/p .
n
216. Sea X con distribuci´on geo(p). Demuestre que P(X ≥ n)= (1 − p) .
Use este resultado y la f´ormula del ejercicio 157 para demostrar que
E(X)= (1 − p)/p.

217. La distribuci´ on geom´ etrica no tiene memoria. Sea X con dis-
tribuci´on geo(p). Demuestre que para cualesquiera x, y =0, 1,...
P(X ≥ x + y | X ≥ x)= P(X ≥ y).

Esta es la ´unica distribuci´on discreta con tal propiedad, compare con
el siguiente ejercicio.

218. Sea X una variable aleatoria discreta con valores en {0, 1,...} ytal
que para cualquier x, y =0, 1,... se cumple la igualdad
P(X ≥ x + y | X ≥ x)= P(X ≥ y).

Demuestre que existe un n´umero p ∈ (0, 1) tal que X tiene distribuci´on
geo(p).