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130 2.8. Ejercicios

Distribuci´on Bernoulli

206. Compruebe que la funci´on de probabilidad de la distribuci´on Ber(p)
efectivamente lo es. Obtenga adem´as la correspondiente funci´on de
distribuci´on. Grafique ambas funciones.

n
207. Sea X con distribuci´on Ber(p). Demuestre que E(X )= p,para cada
n ≥ 1. En particular, compruebe que Var(X)= p(1 − p).

Distribuci´on binomial

208. Use el teorema del binomio para comprobar que la funci´onde proba-
bilidad de la distribuci´on bin(n, p)efectivamente lo es.

209. Sea X con distribuci´on bin(n, p). Demuestre que

a) E(X)= np.
2
b) E(X )= np(1 − p + np).
c)Var(X)= np(1 − p).
3
d) E(X − np) = np(1 − p)(1 − 2p).
4
2
2 2
e) E(X − np) =3n p (1 − p) + np(1 − p)(1 − 6(1 − p)p).
210. Sea X con distribuci´on bin(n, p). Demuestre que Y = n − X tiene
distribuci´on bin(n, 1 − p).

211. Sea X con distribuci´on bin(n, p). Demuestre que
p n − x
a) P(X = x +1) = P(X = x).
1 − p x +1
2
b) P(X = x − 1) P(X = x +1) ≤ P (X = x).
212. Sea X con distribuci´on bin(n, p). Demuestre que
1
n
a) P(X ∈ {1, 3, 5,...})= (1 − (1 − 2p) ).
2