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134 2.8. Ejercicios

230. Sea X con distribuci´on unif(a, b). Demuestre que

a) E(X)= (a + b)/2.
b n+1 − a n+1
n
b) E(X )= .
(n +1)(b − a)
2
c)Var(X)= (b − a) /12.
n
231. Sea X con distribuci´on unif(0, 1). Demuestre que E(X )= 1/(n +1).
232. Sea X con distribuci´on unif(−1, 1). Demuestre que para n =0, 1, 2,...
2
1/n +1 si n es par,
n
E(X )=
0 si n es impar.
233. Sea X con distribuci´on unif(0, 1). Obtenga la distribuci´on de
a) Y =10X − 5.
b) Y =4X(1 − X).

234. Sea X con distribuci´on unif(0, 1) y sea 0 <p< 1. Demuestre que la
variable aleatoria Y = ⌊ln X/ ln(1 − p)⌋ tiene distribuci´on geo(p). La
expresi´on ⌊x⌋ denota la parte entera de x.

235. Sea X con distribuci´on unif(0, 1). Defina a Y como el primer d´ıgito
decimal de X.Demuestre que Y tiene distribuci´on uniforme en el
conjunto {0, 1,... , 9}.

Distribuci´on exponencial

236. Compruebe que la funci´on de densidad de la distribuci´on exp(λ)efec-
tivamente lo es. Demuestre que la correspondiente funci´on de distri-
buci´on es
& −λx
1 − e si x> 0,
F(x)=
0 si x ≤ 0.
Demuestre adem´as que para cualquier x, y > 0,

F(x + y) − F(y)= F(x)(1 − F(y)).