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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 139

d)tiene puntos de inflexi´on en x = µ ± σ.

2
258. Sea X con distribuci´on N(µ, σ ). Demuestre que E(X)= µ yVar(X)=
2
σ .
2
259. Sea X con distribuci´on N(µ, σ ). Demuestre que para cada n =0, 1, 2,...
& 1 · 3 · 5 ··· (n − 1)σ n si n es par,
n
E|X − µ| =
0 si n es impar.
2
260. Sea X con distribuci´on N(µ, σ ). Demuestre que
a) P(µ − σ <X <µ + σ)= 0.68269.
b) P(µ − 2σ <X <µ +2σ)= 0.9545.

c) P(µ − 3σ <X <µ +3σ)= 0.9973.

261. Sea X con distribuci´on normal est´andar. Demuestre que para cada
n =0, 1,...

⎧
n!
⎨ si n es par,
n
E(X )= 2 n/2 (n/2)!
0 si n es impar.
⎩
2
262. Sea X con distribuci´on N(µ, σ ). Demuestre que Y = aX + b,con
a ̸=0, tiene una distribuci´on normal. Encuentre los par´ametros co-
rrespondientes.

2
263. Sea X con distribuci´on N(µ, σ ). Demuestre que la variable aleatoria
−X tambi´en tiene una distribuci´on normal. Encuentre los par´ametros
correspondientes.

264. Sea X con distribuci´on normal est´andar. Demuestre que X 2 tiene
2
una distribuci´on χ (1). Rec´ıprocamente, ¿Ser´a cierto que si Y tiene
√
2
distribuci´on, χ (1) entonces Y tiene distribuci´on N(0, 1)?
265. Encuentre la funci´on de densidad de la variable aleatoria |X|,cuando
X tiene distribuci´on normal est´andar.