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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 143

de la colecci´on B.Entonces

n
B(R) × ··· × B(R) ⊆ B ⊆ B(R ).
Es f´acil demostrar que la colecci´on B es una σ-´algebra. Asi que

n
σ(B(R) × ··· × B(R)) ⊆ B ⊆ B(R ).
n
Pero ambos extremos de esta ecuaci´on coinciden, de modo que B = B(R ),
ypor lo tanto la funci´on (X 1 ,... ,X n )es un vector aleatorio.

Para simplificar la escritura, donde sea posible se usan ´unicamente vecto-
res aleatorios bidimensionales, esto es, de la forma (X, Y ). En la mayor´ıa
de los casos, las definiciones y resultados son f´acilmente extendidos a di-
mensiones mayores. Por ejemplo, el siguiente resultado es an´alogo al caso
unidimensional y puede extenderse al caso de n dimensiones: un vector alea-
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torio (X, Y ): Ω → R genera el espacio de probabilidad (R , B(R ),P X,Y ),
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en donde B(R )es la σ-´algebra de conjuntos de Borel de R ,y P X,Y es
una medida de probabilidad definida sobre esta σ-´algebra, e inducida por el
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vector aleatorio de la siguiente forma. Para cualquier B en B(R ),
P X,Y (B)= P((X, Y ) −1 B).
Nuestro objetivo es estudiar estas nuevas medidas de probabilidad, o equi-
valentemente, los vectores aleatorios que las generan. En lamayor´ıa de los
casos, aunque no ´unicamente, consideraremos vectores aleatorios como los
que se definen a continuaci´on.

Definici´ on. (Vector discreto y continuo). Se dice que el vector
(X, Y )es discreto si cada coordenada es una variable aleatoria discreta,
yse dice que es continuo en caso de que cada coordenada lo sea.