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146 3.2. Distribuci´ on conjunta

b 2

a 2

a 1 b 1
Figura 3.3: La probabilidad asociada al rect´angulo (a 1 ,b 1 ] × (a 2 ,b 2]es P(a 1 <
X ≤ b 1 ,a 2 <Y ≤ b 2 )= F(b 1 ,b 2) − F(a 1 ,b 2) − F(b 1 ,a 2 )+ F(a 1 ,a 2 ).

Ejercicio. Grafique y demuestre que la siguiente funci´on es de distribuci´on.

2
(1 − e −x )(1 − e −y )si x, y > 0,
F(x, y)=
0 otro caso.

!
Adiferencia del caso unidimensional, las propiedades (1) a (4) no son su-
ficientes para asegurar que una funci´on F(x, y)asigna probabilidad no ne-
gativa a cualquier rect´angulo. El siguiente ejercicio muestra un ejemplo de
esta situaci´on. V´ease tambi´en el ejercicio 272.

Ejercicio. Grafique y demuestre que la funci´on que aparece abajo no es de
distribuci´on. Este es un ejemplo de una funci´on que tiene elcomportamiento
l´ımite adecuado en infinito, es continua por la derecha y no decreciente
en cada variable, pero no es funci´on de distribuci´on pues asigna valores
negativos a algunas regiones del plano. Por ejemplo calcule la probabilidad
del cuadrado (−1, 1] × (−1, 1].

2
0si x + y< 0,
F(x, y)=
1si x + y ≥ 0.