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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 149

n
Proposici´ on.Sea F : R → [0, 1] una funci´on de distribuci´on. Entonces
existe un espacio de probabilidad, y un vector aleatorio, cuya funci´on de
distribuci´on es F.

Es decir, este resultado garantiza la existencia de un espacio de probabilidad
(Ω, F,P)en donde se encuentra definido un vector aleatorio (X 1 ,... ,X n )
con funci´on de distribuci´on la especificada. En lo que restadel cap´ıtulo
hablaremos de vectores aleatorios suponiendo que existe un espacio de pro-
babilidad base asociado.

3.3. Densidad conjunta

Como en el caso unidimensional, algunos vectores tienen asociada otra fun-
ci´on llamada de probabilidad o de densidad, y la cual se definea continua-
ci´on.

Definici´ on. (Funci´ on de probabilidad conjunta). La funci´on de
2
probabilidad de un vector discreto (X, Y )es la funci´on f(x, y): R →
[0, 1] dada por
f(x, y)= P(X = x, Y = y).

Aesta funci´on tambi´en se le llama funci´on de probabilidadconjunta de
las variables X y Y .

Es evidente que la funci´on de probabilidad de un vector discreto cumple las
siguientes propiedades.
a) f(x, y) ≥ 0.

"
b) f(x, y)= 1.
x,y

2
Rec´ıprocamente, toda funci´on no negativa f(x, y): R → [0, 1] que sea es-