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152 3.3. Densidad conjunta

Definici´ on. (Funci´ on de densidad conjunta). Sea (X, Y )un vec-
tor continuo con funci´on de distribuci´on F(x, y). Se dice que (X, Y )es
absolutamente continuo si existe una funci´on no negativa e integrable
2
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f(x, y): R → [0, ∞), tal que, para todo (x, y)en R ,se cumple la
igualdad
x y
' '
F(x, y)= f(u, v) dv du.
−∞ −∞
Ala funci´on f(x, y)se le denota por f X,Y (x, y), y se le llama funci´on de
densidad conjunta de X y Y .

As´ı como en el caso unidimensional, no existe realmente unicidad para la
funci´on de densidad pues basta modificarla en algunos puntospara ser dis-
tinta pero seguir cumpliendo la igualdad anterior, sin embargo la funci´on
de distribuci´on y por tanto las probabilidades, permanecensin cambio al-
guno. Es claro que la funci´on de densidad conjunta f(x, y)de un vector
absolutamente continuo cumple las siguientes propiedades.

a) f(x, y) ≥ 0.
' '
∞ ∞
b) f(x, y) dx dy =1.
−∞ −∞

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Rec´ıprocamente, toda funci´on no negativa f : R → [0, ∞), que integre
uno, se llama funci´on de densidad conjunta.En particular, cuando f(x, y)
es continua,
∂ 2
f(x, y)= F(x, y).
∂y∂x

Observe que, en el caso absolutamente continuo y conociendo la funci´on de
densidad conjunta, la probabilidad del evento (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d)
no cambia si se incluyen o se excluyen los extremos de cada intervalo, y se
calcula como la integral doble que se ilustra en la Figura 3.7.