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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 157

de distribuci´on conjunta
⎧
⎪ 0 si x< 0´o y< 0,
⎪
⎪
⎪
⎪ xy/4 si 0 ≤ x, y < 2,
⎪
⎪
⎪
⎨
F X,Y (x, y)= x/2 si 0 ≤ x< 2,y ≥ 2,
⎪
⎪
⎪ y/2 si 0 ≤ y< 2,x ≥ 2,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1 si x ≥ 2y y ≥ 2.
⎩
Esta funci´on esta definida de manera distinta en cada una de las cinco regio-
nes disjuntas y exhaustivas del plano Cartesiano dadas por las condiciones
anteriores. Para encontrar, por ejemplo, la funci´on de distribuci´on marginal
F X (x)simplemente tenemos que hacer la variable y tender a infinito en las
regiones donde ello sea posible. Ello puede hacerse en las regiones dadas por
las condiciones del primer, tercer y quinto rengl´on de la lista anterior. Esto
da como resultado
⎧
⎪ 0 si x< 0,
⎪
⎨
F X (x)= x/2 si 0 ≤ x< 2,
⎪
⎪
1 si x ≥ 2.
⎩
¿Puede usted encontrar ahora F Y (y)? !
Ejercicio. Encuentre las funciones de distribuci´on marginales del vector
(X, Y )cuya funci´on de distribuci´on es
⎧
⎪ 0 si x< 0´o y< 0,
⎪
⎪
2
3
⎪ 3x y/5+ 2xy /5si 0 ≤ x< 1y 0 ≤ y< 1,
⎪
⎪
⎨
2
F(x, y)= 3x /5+ 2x/5 si 0 ≤ x< 1y y ≥ 1,
⎪
3
⎪ 3y/5+ 2y /5 si x ≥ 1y 0 ≤ y< 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
1 si x ≥ 1y y ≥ 1.
⎩
!
Para el caso de funciones de densidad conjunta, se pueden obtener las fun-
ciones de densidad individuales como indica la siguiente definici´on.