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160 3.5. Distribuci´ on condicional

3.5. Distribuci´on condicional

La siguiente definici´on es una extensi´on del concepto elemental de probabi-
lidad condicional de eventos.

Definici´ on. (Funci´ on de densidad condicional). Sea (X, Y )un
vector con funci´on de densidad f X,Y (x, y), y sea y tal que f Y (y) ̸=0. A
la funci´on
f X,Y (x, y)
x 8→ f X|Y (x|y)=
f Y (y)
se le conoce como la funci´on de densidad condicional de X dado que Y
toma el valor y.

No es dif´ıcil comprobar que esta funci´on es efectivamente una funci´on de
densidad, tanto en el caso discreto como en el continuo. Observe que el valor
y permanece fijo y la funci´on es vista como una funci´on de la variable real
x,esto puede observarse en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.Considere la funci´on de densidad conjunta

&
24x(1 − y)si 0 <x < y < 1,
f X,Y (x, y)=
0 otro caso.
Es sencillo comprobar que para cualquier valor fijo de y en el intervalo (0, 1),
la funci´on de densidad condicional de X dado Y es la que aparece m´as abajo.
Es tambi´en inmediato verificar que esta funci´on, vista comofunci´on de x,es
de densidad. El valor de y puede entonces considerarse como un par´ametro
de esta nueva distribuci´on.
& 2
2x/y si 0 <x <y,
f X|Y (x|y)=
0 otro caso.
An´alogamente puede comprobarse que para cualquier x en (0, 1) fijo,

&
2(1 − y)/(x − 1) 2 si x< y < 1,
f Y |X (y|x)= 0 otro caso.