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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 163

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3.6. Independencia

Podemos ahora definir el importante concepto de independencia de variables
aleatorias. Primero definiremos tal concepto para dos variables aleatorias,
despu´es lo haremos para n variables, y finalmente para una colecci´on arbi-
traria de variables aleatorias.

Definici´ on. (Independencia de dos variables aleatorias). Se
dice que X y Y son independientes, y a menudo se escribe X ⊥ Y ,si
para cada par de conjuntos de Borel A, B de R,se cumple la igualdad

P(X ∈ A, Y ∈ B)= P(X ∈ A) P(X ∈ B). (3.1)

En t´erminos de la siempre existente funci´on de distribuci´on, la independen-
cia de dos variables aleatorias se puede expresar como indicael siguiente
resultado.

Proposici´ on. (Independencia de dos variables aleatorias). Las
variables aleatorias X y Y son independientes si, y s´olo si, para cada
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(x, y)en R se cumple la igualdad
F X,Y (x, y)= F X (x) F Y (y). (3.2)

Demostraci´on. Si X y Y son independientes, entonces tomando A =(−∞,x]
y B =(−∞,y]en (3.1) se obtiene (3.2). Suponga ahora que se cumple (3.2)