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166 3.6. Independencia

Definici´ on. (Independencia de varias variables aleatorias). Se
dice que las variables X 1 ,... ,X n son independientes si para cualesquiera
Borelianos A 1 ,... ,A n de R,se cumple

P(X 1 ∈ A 1 ,... ,X n ∈ A n )= P(X 1 ∈ A 1 ) ··· P(X n ∈ A n ).

M´as a´un, una colecci´on infinita de variables aleatorias esindependiente
si cualquier subconjunto finito de ella lo es.

Usando un procedimiento similar al caso de dos variables aleatorias, puede
demostrarse que la condici´on de independencia de n variables aleatorias
n
es equivalente a solicitar que para cualquier vector (x 1 ,... ,x n )en R se
cumpla la igualdad

(x n ).
F X 1 ,...,X n (x 1 ,... ,x n )= F X 1 (x 1 ) ··· F X n
Y en t´erminos de la funci´on de densidad, cuando ´esta existay salvoun
conjunto de medida cero, la condici´on es

(x n ).
f X 1,...,X n (x 1 ,... ,x n )= f X 1 (x 1 ) ··· f X n

Cuando las variables X 1 ,... ,X n son independientes y tomando conjuntos
Borelianos adecuados en la definici´on general, puede comprobarse que cual-
quier subconjunto de estas variables tambi´en son independientes. El rec´ıpro-
co, sin embargo, es en general falso como se pide demostrar a continuaci´on.
Ejercicio. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on uniforme
en el conjunto {−1, 1}.Sea Z = XY .Demuestre que X, Y y Z son inde-
pendientes dos a dos pero no lo son en su conjunto. !

Proposici´ on.Sean X y Y independientes, y sean g y h dos funciones de
R en R,Borel medibles. Entonces las variables aleatorias g(X)y h(Y )
tambi´en son independientes.