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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 167

Demostraci´on. Sean A y B cualesquiera dos conjuntos de Borel de R.En-
tonces

P( g(X) ∈ A, h(Y ) ∈ B )= P( X ∈ g −1 (A),Y ∈ h −1 (B))
= P( X ∈ g −1 (A)) P( Y ∈ h −1 (B))
= P( g(X) ∈ A ) P( h(Y ) ∈ B ).

Este resultado puede extenderse f´acilmente al caso n-dimensional, y de esta
forma obtener que la composici´on de n funciones Borel medibles aplicadas,
respectivamente, a n variables aleatorias independientes, produce nueva-
mente variables aleatorias independientes.

La definici´on de independencia de dos variables aleatorias puede extender-
se al caso de dos vectores aleatorios de cualquier dimensi´onde la forma
siguiente.

Definici´ on. (Independencia de dos vectores aleatorios). Se di-
ce que los vectores X =(X 1 ,... ,X n )y Y =(Y 1 ,... ,Y m )son indepen-
m
n
dientes, si para cada A en B(R ), y cada B en B(R ), se cumple la
igualdad
P(X ∈ A, Y ∈ B)= P(X ∈ A) P(Y ∈ B). (3.4)

Naturalmente esta definici´on puede extenderse un poco m´as para incluir la
independencia de un n´umero finito de vectores aleatorios, nonecesariamen-
te todos de la misma dimensi´on. Y nuevamente, una colecci´oninfinita de
vectores aleatorios es independiente si cualquier subcolecci´on finita de ellos
lo es.

Ejercicio. Demuestre que si los vectores (X 1 ,... ,X n )y (Y 1 ,... ,Y m )son
independientes, entonces las variables X i y Y j son independientes para cual-
quier posible valor de los ´ındices i y j. !