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172 3.8. Covarianza

Proposici´ on.Sean X y Y variables aleatorias y sea c una constante.
Entonces

1. Cov(X, Y )= E(XY ) − E(X)E(Y ).

2. Cov(X, Y )= Cov(Y, X).

3. Cov(X, X)= Var(X).

4. Cov(c, Y )= 0.
5. Cov(cX, Y )= c Cov(X, Y ).

6. Cov(X 1 + X 2 ,Y )= Cov(X 1 ,Y )+ Cov(X 2 ,Y ).

7. Si X y Y son independientes, entonces Cov(X, Y )= 0.

8. En general, Cov(X, Y )= 0 ̸=⇒ X,Y independientes.

Demostraci´on.

1. Por la propiedad de linealidad de la esperanza,

Cov(X, Y )= E [(X − E(X))(Y − E(Y ))]
= E [XY − YE(X) − XE(Y )+ E(X)E(Y )]
= E(XY ) − E(X)E(Y ).

2. - 4. Estas propiedades se siguen directamente de la definici´on.
5. - 6. Esto es consecuencia de la definici´on y de la linealidadde la esperanza.

7. Esta propiedad se obtiene f´acilmente de la primera pues E(XY )=
E(X)E(Y )cuando X y Y son independientes.