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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 169

cuando X y Y son independientes, este incremento es

F(x i )F(y j ) − F(x i )F(y j−1 ) − F(x i−1 )F(y j )+ F(x i−1 )F(y j−1 )
=(F(x i ) − F(x i−1 ))(F(y j ) − F(y j−1 ))
= ∆F(x i ) ∆F(y j ),

es decir, la integral bidimensional se separa en dos integrales, y se puede
escribir
'
E[ϕ(X, Y )] = ϕ(x, y) dF X (x) dF Y (y).
R 2
Cuando el vector (X, Y )es discreto, la f´ormula (3.5) se reduce a

"
E[ϕ(X, Y )] = ϕ(x, y) P(X = x, Y = y),
x,y
en donde la suma se efect´ua sobre todos los posibles valores (x, y)del vector.
En este caso la demostraci´on del teorema resulta no muy complicada, y se
pide dar los detalles en el siguiente ejercicio.
Ejercicio. Sea (X, Y )un vector aleatorio discreto con valores en el con-
2
junto producto {x 1 ,x 2 ,...} × {y 1 ,y 2 ,...},y sea ϕ : R → R una funci´on
Borel medible tal que la variable ϕ(X, Y )tiene esperanza finita. Demuestre
que
∞ ∞
" "
E[ϕ(X, Y )] = ϕ(x i ,y j ) P(X = x i ,Y = y j ).
i=1 j=1

!
En el caso cuando (X, Y )es absolutamente continuo, la expresi´on (3.5) se
escribe
'
E[ϕ(X, Y )] = ϕ(x, y) f X,Y (x, y) dxdy.
R 2
Con ayuda de este resultado podemos ahora demostrar que la esperanza
separa sumas.