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170 3.7. Esperanza de una funci´ on de un vector aleatorio

Proposici´ on.Sean X y Y con esperanza finita. Entonces

E(X + Y )= E(X)+ E(Y ).

Demostraci´on. Sean ϕ(x, y)= x + y, ϕ 1 (x, y)= x,y ϕ 2 (x, y)= y.Entonces
E(X + Y )= E(ϕ(X, Y ))
'
= (x + y) dF X,Y (x, y)
R 2
' '
= xdF X,Y (x, y)+ ydF X,Y (x, y)
R 2 R 2
= E(ϕ 1 (X, Y )) + E(ϕ 2 (X, Y ))

= E(X)+ E(Y ).

Proposici´ on.Sean X y Y independientes, y sean g y h dos funciones
Borel medibles tales que g(X)y h(Y )tienen esperanza finita. Entonces

E[g(X)h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )].

En particular, E(XY )= E(X) E(Y ).

Demostraci´on.
'
E[g(X) h(Y )] = g(x) h(y) dF X,Y (x, y)
R 2
'
= g(x) h(y) dF X (x) dF Y (y)
R 2
= E[g(X)] E[h(Y )].