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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 173

8. Sea (X, Y )un vector aleatorio discreto con funci´on de densidad

⎧
⎨ 1/8si (x, y) ∈ {(−1, −1), (−1, 1), (1, −1), (1, 1)},
f X,Y (x, y)= 1/2si (x, y)= (0, 0),
0 otro caso.
⎩
Entonces X y Y tienen id´enticas densidades marginales,

⎧ ⎧
⎨ 1/4si x ∈ {−1, 1}, ⎨ 1/4si y ∈ {−1, 1},
f X (x)= 1/2si x =0, f Y (y)= 1/2si y =0,
0 otro caso. 0 otro caso.
⎩ ⎩
Puede entonces comprobarse que Cov(X, Y )= 0. Sin embargo X y
Y no son independientes pues en particular P(X =0,Y =0) =1/2,
mientras que P(X =0)P(Y =0) =1/4.

Observe en particular que la covarianza es una funci´on bilineal y sim´etrica.
Estas propiedades ser´an de utilidad en la siguiente secci´on. M´as adelante
demostraremos que, en el caso especial cuando el vector (X, Y )tiene distri-
buci´on normal bivariada, la condici´on de covarianza cero implica que estas
variables son efectivamente independientes.

Ejercicio. Sean X y Y independientes. Demuestre que Cov(X + Y, Y )=
Var(Y ). !

3.9. Coeficiente de correlaci´on

El coeficiente de correlaci´on de dos variables aleatorias esun n´umero real
que mide el grado de dependencia lineal que existe entre ellas. Su definici´on
es la siguiente.