Page 187 - cip2007

Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 175

Demostraci´on.

1. Si X y Y son independientes, entonces Cov(X, Y )= 0, y por lo tanto
ρ(X, Y )= 0.

2. Suponga primero que X y Y son tales que E(X)= E(Y )= 0, y
Var(X)= Var(Y )= 1. Para cualquier valor de λ,

0 ≤ Var(X + λY )
2
2
= E(X + λY ) − E (X + λY )
2
=1 + 2λE(XY )+ λ .
El caso λ =1 produce el resultado E(XY ) ≥−1, mientras que para
λ = −1se obtiene E(XY ) ≤ 1. Es decir, −1 ≤ E(XY ) ≤ 1. Observe
que estas desigualdades tambi´en pueden ser obtenidas a partir de la
desigualdad de Cauchy-Schwarz. Ahora se aplica este resultado a las
variables aleatorias (X − µ X )/σ X y(Y − µ Y )/σ Y ,que evidentemente
son centradas y con varianza unitaria. Entonces

X − µ X Y − µ Y
−1 ≤ E( ) ≤ 1.
σ X σ Y
El t´ermino de enmedio es ρ(X, Y ).
3. Si X y Y son tales que Y = aX +b con a ̸=0 y b constantes, entonces

Cov(X, aX + b) a
= .
ρ(X, Y )= :
Var(X)Var(aX + b) |a|
Por lo tanto ρ(X, Y )= 1 cuando a> 0, y ρ(X, Y )= −1cuando a< 0.
Inversamente, suponga que X y Y son tales que |ρ(X, Y )| =1. Defina
U =(X −µ X )/σ X y V =(Y −µ Y )/σ Y .Entonces claramente E(U)=
E(V )= 0, y Var(U)= Var(V )= 1. Por lo tanto ρ(U, V )= E(UV ).
Es f´acil ver tambi´en que |ρ(U, V )| = |ρ(X, Y )| =1. Si ρ(U, V )= 1,