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174 3.9. Coeficiente de correlaci´ on

Definici´ on. (Coeficiente de correlaci´ on). El coeficiente de co-
rrelaci´on de las variables aleatorias X y Y ,denotado por ρ(X, Y ), es el
n´umero
Cov(X, Y )
.
ρ(X, Y )= :
Var(X)Var(Y )

Naturalmente en esta definici´on se necesita suponer que las varianzas son
estrictamente positivas y finitas. Vista como funci´on de dosvariablesalea-
torias, el coeficiente de correlaci´on es una funci´on sim´etrica pero no es lineal
pues no separa sumas ni multiplicaciones por constantes.

Ejercicio. Demuestre que, en general,

a) ρ(cX, Y ) ̸= c ρ(X, Y ), c constante.
b) ρ(X 1 + X 2 ,Y ) ̸= ρ(X 1 ,Y )+ ρ(X 2 ,Y ).

!

La interpretaci´on dada al coeficiente de correlaci´on se justifica a partir de
los siguientes resultados.

Proposici´ on.El coeficiente de correlaci´on satisface las siguientes pro-
piedades.

1. Si X y Y son independientes, entonces ρ(X, Y )= 0.

2. −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1.

3. |ρ(X, Y )| =1 si, y s´olo si, existen constantes a y b tales que, con
probabilidad uno, Y = aX + b,con a> 0si ρ(X, Y )= 1, y a< 0
si ρ(X, Y )= −1.