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Cap´ ıtulo 3. Vectores aleatorios 161

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Ejercicio. Calcule las funciones de densidad condicionales f Y |X (y|x)y
f X|Y (x|y)a partir de la siguiente funci´on de densidad conjunta

2 2 2
3(x + y )/16 si 0 <x <y < 2,
f(x, y)=
0 otro caso.

!
Se pueden definir tambi´en funciones de distribuci´on condicionales de la si-
guiente forma.

Definici´ on. (Funci´ on de distribuci´ on condicional). Sea (X, Y )
un vector aleatorio absolutamente continuo con funci´on de densidad
f X,Y (x, y), y sea y tal que f Y (y) ̸=0. A la funci´on
x
'
x 8→ F X|Y (x|y)= f X|Y (u|y) du
−∞
se le conoce como la funci´on de distribuci´on condicional de X dado que Y
toma el valor y.Cuando elvector aleatorio (X, Y )es discreto la integral
se substituye por la suma correspondiente.

Nuevamente resulta que la funci´on de distribuci´on condicional es efectiva-
mente una funci´on de distribuci´on. En el caso absolutamente continuo y
suponiendo x 8→ f X|Y (x|y)continua, por el teorema fundamental del c´alcu-
lo se tiene que
∂
f X|Y (x|y)= F X|Y (x|y).
∂x

Ejemplo.Considere nuevamente la funci´on de densidad conjunta del ejem-
plo anterior, f X,Y (x, y)= 24x(1 − y), para 0 <x <y < 1. Para y fijo en el